函数的连续性是在学生学习了函数、极限的概念、性质以及计算的基础上，对函数的性质进一步进行的讨论。高等数学研究的主要对象是初等函数，而连续性是初等函数的重要性质.因此，这一节内容是高等数学课程的基础性知识，十分重要。
函数连续性在书中的安排一般是先给出函数在一点处连续的两个定义，函数在区间上连续的定义，左右连续，间断点，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质，这样的过程具有严密的逻辑性和系统性，但是不符合学生学习的认知规律，学生掌握起来比较困难，为此，笔者分五个步骤对函数连续性的教学过程做了以下设计：
第一步先提出三个问题，问题 1： 怎样理解"连续 "这个词，没学这课之前我们脑海里的连续是什么意思？ 问题 2： 生活中有连续现象多吗，具体有哪些？ 问题 3： 所列举的连续现象里有共同特点吗？ 引导学生进行讨论，回答，老师补充评析，并指出： 连续现象，就是没有中断，连着的现象，他们的实质都是一笔画、不断开的。
第二步讲函数的间断点，在这里我们可以设置这样一个引例，先给出以下四个函数：
把他们的图像画出来让学生观察可以得出以下结论：x=1为这四个函数的间断点，即以上这四个函数在x=1处都是不连续的，但是他们不连续的原因是各自不同的，f1不连续的主要原因是左右极限不相等，分别为1和3，函数在x=1处无极限，f2不连续的主要原因是函数在x=1处无定义，无极限， f3不连续的主要原因是函数在x=1处无定义，有极限且为2，f4不连续的主要原因是函数在x=1处的极限值为2但是不等于函数值3。
由这几个函数不连续的原因我们可以得出一个点要想连续，需要满足以下三条（1）函数在该点处有定义；（2）函数在该点处有极限；（3）函数在该点处的极限值等于函数值。三个条件同时满足才能说明一个函数在该点处是连续的。在这里可以向学生提问：对函数f4如何改进才能使得它变成连续函数呢？学生很可能会想到将x=1处的函数值3改成2，使之与极限值相等这样就符合连续的定义从而也将一个不连续的函数改编成了连续函数，进一步加深了学生对连续概念的理解。通过这四个函数的类比分析和边讲边练，培养学生的思维能力，通过连续和不连续的互相转化，加强了师生之间和学生之间的交流、争论、启发、补充，使学生对函数连续性从感性认识上升到理性认识，让学生自己归纳、总结出函数在某点处连续和不连续的特点及其所对应的数学解析式，引出连续性定义.这样推导出的函数连续性的定义是符合学生的认知规律的，学生更容易理解并记住。对连续性定义的理解是本节的关键点，定义理解了，其他内容再按照知识的逻辑顺序依次展开，逐次分析，尽可能多采用直观性教学法.最后利用本节知识求解实际问题，突出"学以致用"的教学理念，培养学生用数学的意识和用数学知识解决实际问题的能力。
接下来第四步再研究函数f1，我们会发现该函数是左极限等于函数值，而右极限不等于函数值，即f1满足左连续，但是不满足右连续，从而推出函数左右连续的概念，以及左右连续与函数连续的关系的定理。
第五步给出间断点的分类，还是在刚才这四个函数的基础上在分析这四个间断点的类型，第一个是跳跃间断点，第二个是无穷间断点，第三个和第四个是可去间断点，由于前面的学习和研究，学生对这四个函数的图像和性质已经很熟练了，所以在这个基础上再来提出函数的间断点的分类，学生很容易理解和掌握。后面还有函数连续的性质和有关连续性、间断点判断的习题，可以根据学生掌握的情况以及学生水平放在本次课后面讲解或者下次课讲解。
这样处理连续性定义的优点：避免学生认知水平和知识学习间的矛盾.将更多精力放在引导学生理解连续性概念的本质.学生对连续性有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于学习后续高等数学知识。这节课由函数间断到函数连续性定义的提出，再到间断点的分类最后到连续函数的性质，展示了一个完整的数学探究过程.提出问题、作图观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。
