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用《几何画板》进行数学实验初探

   《几何画板》在计算机辅助教学中所起的作用为越来越多的教师所认识,因而《几何画板》得到越来越多的教师(甚至学生)的喜爱。《几何画板》对平面中图形、曲线的生成、变换、动画,使人在兴奋之余,深深感受到“麻雀虽小,五脏俱全”的含义,真是太方便、太好用了。然而,同行们在一起交流的时候,都有一个共同的感觉,那就是《几何画板》对立体几何图形的表现微积分学定理的验证并不方便,也感到很不好处理。下面,笔者就微积分学教学实践中运用《几何画板》的经验与体会和爱好《几何画板》的同仁一起交流,探讨如何实现《几何画板》对微积分学某些定理、概念进行验证。
  1 图形结合精确数据动态验证有关概念的结论
   我们知道导数在研究函数性态方面的应用是卓有成效的,如研究函数的单调性、极值与最值;函数的凹凸性等。下面以用函数在某一区间上的导函数值的正负情况,来判断函数在该区间上的单调性为例。而要判断函数在某一区间上的单调性有如下定理:
   定理设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则有:
   1)若在(a,b)内f '(x)>0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上单调增加;
   2)若在(a,b)内f '(x)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上单调减少。
   现详细介绍在几何画板下该定理的验证:
  
   设计标准:(1)能够反映函数的图象;(2)能让该函数在某区间上导函数值的正负情况。
   设计的核心:导函数值的正负情况随自变量的改变而改变。
   主要步骤:(1)建立直角坐标系;在x轴上取一点B;求出B点的横坐标m1(后隐藏);(2)构建函数f(x)=2x3-9x2+12x-3并作出该函数的图象;(3)计算f(m1)(后隐藏);先选中m1,再选中f(m1)作点C(m1,f(m1))则C点在函数f(x)的图象上;(4)求出C点的横坐标XC,纵坐标YC(后隐藏);(5)求函数f(x)的导函数f'(x)并求出它在XC处的导函数值f'(XC);(6)求出函数f(x) 在点C处切线方程g(x)=f'(XC)(x-XC)+YC,作切线g(x)=f'(XC)(x-XC)+YC的图象并隐藏切线方程g(x)=f'(XC)(x-XC)+YC;(7)将B点在x轴上移动,观察f'(XC)在区间上取值的正负情况及函数f(x)图象在对应区间上的单调递增(减)情况可起到验证该定理的目的。
   类似的,我们可以得到对函数的凹凸性判定定理的验证。另外,我们可以发挥几何画板动画的功能让我们的几何图形动起来,而《几何画板》的用户指南上,给它起了一个很大的小名――21世纪的动态几何,笔者感到《几何画板》的魅力就在于“动”,这个动,应包括三个方面的涵义:一动,几何画板给我们提供了的一个可动的空间;二动,我们的头脑的创造力是几何画板动起来的关键;三动,《几何画板》发展完善应是一个动态完善的过程。基于对《几何画板》的理解,笔者认为只要发挥我们的创造力,可以让画板为我们表现出丰富多彩的图形的。而图形动的过程,就是加强知识发生的过程的教学,变“知识重现”为“意义建构”,以往这部分内容的教学是引导学生展开“想象”,但对那些想象能力相对薄弱的学生来说,其中的困难可想而知。采用《几何画板》则可以轻松地表现曲线的生成过程。甚至可以只追踪某一线段的轨迹,使学生认识到定义、定理中所说的“曲面、曲线”的含义,从而正确理解上述概念。
  2 定积分意义的动态演示
   几何画板提供了图形“变换”的动感,使抽象的数学教学内容直观形象化,迅速突破了教学难点,令学生对问题的观察、试验和归纳成为现实。
   在数学上,迭代是指把某些数学结构、计算或其它操作的过程重复应用于先前的相同操作的结果。这些操作必须根据某些输入来定义输出,迭代则是用每一步的输出作为下一步的输入。几何画板中,迭代操作和结构是由样本来创建,并且总是根据点和参数来定义的。可以进行迭代操作的对象有两大类,一类是至少具有一个自由度的点,另一类是参数型对象。可以进行迭代操作的独立的对象叫做迭代的原像;由点原像进行缩放、平移、旋转等变换操作后产生的与原像关联的新点,或对参数型原像进行计算后得到的与原像关联的结果,称为迭代的初像。迭代的作用就是将对原像所进行的一切操作重复地施加在所选择的初像上,并按设定的迭代次数重复。迭代的结果是原像的各次迭代的像以及依赖于原像的各个对象的集合。几何画板允许我们构造一个迭代像点的终点,这个终点具有其他迭代像点所没有的可度量性和可构造性;很多情况下我们需要通过终点进行某种度量或利用终点建构其它图像。几何画板的迭代功能,使我们对某些数学对象反复进行相同操作的工作变得简单易行,对图形进行无限分割、对无穷级数进行求和的想法得到不同程度的实现。虽然4.0x版对迭代的最大次数有限制,无法做到真正的无限,然而最大4000次的迭代,已足以使我们对“以有限逼近无限”的思想更为理性的认识。
   定积分概念涉及近代微积分思想――“以直代曲,以有限逼近无限”。在传统教学方式下,这一教学内容缺乏必要的直观形象支撑,利用几何画板,可以很好地解决这一问题。
   例4 计算函数y=1。35x,x在区间[a,b]上的曲边梯形的面积。
   制作:
   1)绘制新函数y=1。35x的图象,在X轴上任意取两点A,B。
   2)新建参数n,作为区间[A,B]的等分线段数。计算n-1和1/ n。
   3)标记比值1/ n,双击 A以其为缩放中心,选中B,选 <变换/缩放>,得B′。
   4)度量A,B′的横坐标X,再计算这两点对应的函数值Y,根据这两点的坐标绘制曲线y=1。35x上的两个点 E,F。
   5)分别作线段AE,FB',过点E作X轴的平行线,交 FB'于点G,隐藏平行线,作线段 EG,选中点A,E,G,B',单击<作图/四边形内部>。
   6)选中点A,参数n,和度量值n-1,按住Shifn键,选择<变换/带参数迭代>,在迭代对话框中,依次单击B'和n-1。
   操作、观察:
   改变参数n的值,当增大时,小矩形个数越来越多,逐渐填满曲边梯形。
  3 用几何画板的“数形结合”创造一条便捷通道,用它来丰富和扩展了数学学习的内容和形式,从而达到调动学生学习数学的积极性和主动性,培养学生的发散思维和学习能力
   以上是教学中的典型实例,在这几例子中充分运用《几何画板》的动画、移动、平移、旋转、标识向量等高级功能,从中我们看到《几何画板》对立体几何图形的开发能力也是十分强大的,只要我们发挥自己的创造性,潜心研究,就能不断的加深对《几何画板》的理解和应用,不断开发出适用于教学的优秀课件。不过,在使用过程中,笔者也发现了《几何画板》在表现立体几何中不尽人意或者说现在仍没有解决的问题:在立体几何图形旋转的过程中,不能随着视觉的变化而变化图形中的实线和虚线;对生成的轨迹《几何画板》不允许对其进行进一步的变换等;对于用《几何画板》生成球这样的旋转体还很困难等。
  

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