中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.10.046
Abstract Hydraulics is a basic course of technology， which is a branch of mechanics. Energy equation is set up one of the earliest and the most widely used dynamic equation of hydraulic history. It is the application of the law of conservation of energy to reveal the energy variation in the process of the liquid flow and liquid dynamics in occupy an important position. Energy equation is an important part of the teaching system of hydraulics， and it is the soul that runs through the basic theory teaching and engineering practice of hydraulics， and it can also be applied to other fluids such as gas. Therefore， in order to make students better understand and master the derivation process of the energy equation， it is necessary to carry out comparative analysis of teaching reform， strengthen students' understanding of Bernoulli equation inferential reasoning process and engineering application and master， promote hydraulics problems of teaching mode innovation， in order to improve the teaching quality of the hydraulic.
Keywords ideal liquid； derivation of equation； comparison and analysis
作为一门重要的技术基础课，水力学（流体力学）是高等工科院校大多数专业开设的必修课，广泛应用于水利、土木建筑、给排水、水文环境、机械、动力、动能、化工、石油、航空、航海、计量、控制、地质勘探等专业。水力学是建立在流体力学基础之上的一门既有较强理论性又有较强工程实际意义的应用力学课程。水力学课程强调理论紧密联系工程实际，它的主要任务是研究液体（主要是水）的平衡和机械运动规律及其工程应用，它具有理论性强、经验公式多，概念抽象，推导复杂，且易混淆等特点。水力学与其他各门力学课程一样，一直以来都是学生认为最为难学的课程之一，它对学生的高等数学、大学物理、工程力学以及综合分析处理问题的能力要求较高。作为水利等工科专业的技术基础课，水力学是学生专业能力形成与未来职业发展必不可少的依托，它不仅是后续专业课学习的理论基础，而且也是解决工程实例的技术依据，因而这门课具有极强的理论性与工程实践性。
在各种水力学（流体力学）教材中，能量方程又称伯努利方程，其推导过程有多种途径。本文从动力学关系出发，分别从“微元体”与“元流”两个切入点应用牛顿第二定律推导伯努利方程，对比分析理想流体作定常流动时伯努利方程的推导过程，为伯努利方程的专题性教学改革探索提供支撑。
1 能量方程的微元体推导过程
伯努利方程“微元体”推导过程以理想液体运动微分方程为基础。根据牛顿第二定律，建立理想流体受力及运动之间的动力学关系，导出理想液体运动微分方程，通过对轴方向的运动微分方程进行变形、化简，并引入限定条件，沿流线积分得能量方程。因此能量方程“微元体”推导过程的基本思路为：（1）取“微元体”；（2）受力分析；（3）导出动力学关系；（4）变形化简；（5）引入限定条件；（6）沿流线积分。
1.1 取“微元体”
在某一瞬时在运动无黏性（理想）液体中取出棱边为，，的一微小平行六面体。六面体中心为，该点压强为（）（图1）。
1.2 受力分析
作用在流体上力，按其作用方式分为表面力和质量力。以方向为例，对“微元体”进行受力分析，对表面力取泰勒（Taylor）级数展开式的前两项。
a.表面力（以方向为例）包括压应力和剪应力
b. 质量力
1.3 导出动力学关系
由牛顿第二定律，作用在微元六面体上的合外力在某坐标轴方向投影的代数和等于此流体微元质量乘以其在同轴方向的分加速度。以轴方向为例，有 （5）
上式即理想流体运动微分方程式，又称欧拉运动微分方程式。该式是牛顿第二定律的流体力学表达式，是理想流体运动的基本控制方程式，是研究理想流体各种运动规律的基础。其物理意义可表示为作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于其加速度，适用于无黏性流体，可压缩流体及不可压缩流体，恒定流及非恒定流。
1.4 变形化简
为了利用这组方程推导沿单个流线的伯努利方程，将理想流体运动微分方程各式分别乘以同一流线上两邻点间距离的投影，然后相加，得
1.5 引入限定条件
理想流体运动微分方程式是非线性偏微分方程组，只有特定条件下的积分，其中最著名的是伯努利（Bernoulli）积分。在积分之前，需要引入以下限定条件：
上述理想液体运动微分方程沿流线的积分称为伯努利积分，又称理想液体恒定元流能量方程。
2 伯努利方程的元流推导过程
在理想液体恒定流中取一微小流束（元流），并截取1-1和2-2断面间的微分流段来研究。将流段近似作为柱体，过水断面面积，该流段沿着流动方向流动（图2）。
根据牛顿第二定律：作用在ds流段上的外力沿s 方向的合力，应等于该流段质量与其加速度的乘积。
式（12）为不可压缩理想液体恒定元流能量方程，是由瑞士科学家伯努利于1738年首先推导出来的，所以又称为理想液体恒定元流伯努利方程[15]。
伯努利方程的适用于（1）无粘性流体，（2）不可压缩流体，（3）恒定流，（4）沿流线，应用伯努利方程时必须确认四个条件同时满足。
3 讨论与分析
除了上述采用“微元体”和“元流”两种思路推导伯努利方程以外，理想流体伯努利方程还可简单的利用理论力学或物理学中的动能定理推导得出。从能量意义上来看，方程表示单位重量的理想流体沿流线运动时，其携带的总能量在所流经的路程上任意位置时总是保持不变的，但其位势能、压力势能和动能是可以相互转化的；从几何意义上来看，方程表示理想流体沿流线运动时，其位置水头、压强水头、速度水头可能有变化或三个水头之间相互转化，但其各水头之和总是保持不变。
伯努利方程（能量方程）是从动力学的观点讨论水流各运动要素之间的关系，是能量守恒在水流运动中的具体表现。无论是“微元体”思想还是“元流”思想推导伯努利方程，都是从动力学基础的牛顿第二定律出发，计算“微元体”或“元流”各点运动的瞬时状态，并进行受力分析，列方程积分得到伯努利方程。
根据以人才培养为根本、以提高质量为核心的本科教学理念，结合“水力学”课程教学目标和课程特点，制定的教学改革思路如下：（1）通过对各个专题深入分析研究和教学实验实践，采用由一元、二元到三元的课程体系、由可压缩到不可压缩、由理想到粘性这一系统化的理论教学体系；（2）在理论教学的过程中，注重实践性教学改革探索。主要体现在上好实验课，从直观演示到动手操作，激发学习兴趣；精心选题，贴近实际工程，创造现场氛围；（3）吸取国内外水力学教材精华，在理论推导中融合新的工程水力学思想和问题，拓宽学生的思维结构与知识体系；（4）在课堂上举出应用伯努利方程能够解决的实际例子，比如毕托管测速仪、容器中液体在重力作用下的外泄、液体从内有超压的容器中外泄、驻点流动、高速列车的窗玻璃发生向外破裂等，帮助学生理解方程的重要性；（5）正确处理好教学与科研的关系。以科研带动教学，以教学中遇到的问题促进科研创新。
4 结论
针对水力学课程中伯努利方程地位重要、概念抽象、具有较强的数学物理思想等特点，本文就方程的推导过程对水力学研究型本科教学进行了对比分析研究，旨在提高学生的学习兴趣，优化学生的知识体系，强化学生的知识类比意识，培养学生的工程应用能力。得出的主要结论如下：
（1）伯努利方程是研究流体最基本最常用的基本规律之一。掌握伯努利方程的推导过程和不同条件下方程各项的物理与几何意义是学习流体动力学专题的关键，为了达到授课的系统性和关联性，采用对不同推导过程进行对比分析的方法进行讲授，以达到学生真正理解和掌握该方程的意义和实际应用。
（2）采用“微元体”形式或“元流”形式推导伯努利方程，需要对水力学教学过程是归结到采用三元到一元的教学体系，还是采用由一元到三元的教学体系进行探索。考虑到适合学生理解和掌握是第一要素，认为采用由一元到三元的教学体系更易于学生接受和理解，且采用对比分析式的教学方法更能保证学生对该方程真正理解和应用，实现水力学教学方式创新性改革的目标。
（3）在水力学授课过程中，首先将以学生为主体的教育理念贯穿到教学过程中，要提倡和鼓励学生开展自主性学习与探究性学习；其次要改革实验教学方法，提倡单独开设实验课，支持学生独立设计实验方案；再次要强化理论联系实际的环节，提高创新能力的探索与实践；最后，始终坚持工程科学与技术科学、基础科学互相促进，互相融合，协同创新。
