一、问题的提出
在对传统的资本市场进行研究时，都是建立在有效市场理论的基础上，有效市场理论是基于三个基本假设而成立：投资者是理性的；交易的随机性；有效市场。资本市场中的马柯威茨均值—方差模型、资本资产定价模型（CAPM）、套利定价模型（APT）、Black-Scholes期权定价模型（OPM）等都是以这些假定为核心而成立的。然而现实中的投资者并不一定都是规避风险的，当他们认为不赌一回将要受损时将追求风险；市场也很少满足完全竞争，市场中存在的“规模效应”，“日历效应”等都不能用有效市场理论来加以解释。
针对有效市场理论所存在的缺陷，为了有效地解释资本市场中存在的一些令人困惑且杂乱无章的现象，分形理论应用而生，分形的提出能够很好的解释股票市场中所存在的尖峰后尾现象，该理论的提出为金融市场的研究开创了新的局面。
二、分形理论与H指数
对分形的定义至今还没有一个确切的解释，但分形具有一些可测的特征：（1）自相似性，如时间序列的局部和整体之间具有相似性，这种相似性不会因观察尺度的变化而消失；（2）标度不变性，如我们对股票价格指数的趋势进行观察，以日、周、月为观察周期所看到的趋势是一样的，并没有发生变化；（3）分形维，此参数用于衡量分形体的复杂程度，分形维数越大，分形体越复杂；（4）局部随机性和整体确定性，分形世界中随机性和确定性通常是两两并存的。通过分形所具有的一些特征我们可以对其进行识别并充分的认识。
R/S分形法又称重标极差法，是水文学家Hurst在研究尼罗河治理时提出的，为了将分形时间序列同其他时间序列区分开来，Husrt构造一个Hurst指数，对应的关系式为：
H就是Hurst指数，衡量了一个时间序列的统计相关性，位于0-1之间，下面将对H指数所属的不同区间进行比较分析。
三、国有控股商业银行股票的非正态性检验
本文主要对我国5家国有控股商业银行（中国工商银行、中国农业银行、中国银行、中国建设银行、中国交通银行）股票市场进行研究，选取了5家银行从上市至2013年12月17日的日收盘价作为样本，通过对5家银行进行了对数收益率序列的基本统计量检验，这里主要有均值、标准差、偏度、峰度以及J-B检验，来分析5家国有上市银行的非正态性。
数据主要来源于雅虎财经网站，为了使数据具有可比性，这里对日收盘价取对数，用日收益率序列来进行分析比较，Pt表示t时的股票收盘价，Rt=ln（Pt+1/Pt）表示t时的日收益率，利用Eviews软件得到5家银行的基本统计量值，具体见表1：
J-B统计量在5%和1%的显著性水平下的临界值分别为5.9915、9.2103
从偏度来看，可以看出5家银行的偏度值都不为0，说明都不满足正态分布中偏度为0的标准，其中工商银行、农业银行、中国银行的偏度值都大于0，说明其日收益率分布呈右偏，偏离0的程度越大，其右偏程度越大，这里农业银行表现出更加明显的右偏现象；建设银行和交通银行的偏度值都小于0，且两者相差不远，则其都表现为左偏。
从峰度来看，5家银行的峰度值都大于正态分布的标准值3，表现出尖峰的态势，而且值偏离3的程度越大，其收益率趋势将越陡峭，可以看出农业银行偏离3的程度较大，农行将表现明显的尖峰现象。
从J-B统计量的角度来看，其对应的概率值均远远大于在在5%和1%的显著性水平下的临界值，这也充分说明了5家上市银行的日收益率序列不满足正态分布。
通过以上的统计量说明我国国有控股上市银行的股票价格不满足有效市场假定的正态分布，都表现出“尖峰后尾”的特征，呈非正态分布，其中农业银行的表现更加明显。
四、国有控股商业银行股票的分形特征分析
鉴于上述对国有上市银行的非正态性检验，发现其日收益率都具有“尖峰厚尾”特征，我们将采用R/S分析法来具体分析5家银行所具有的分形特征。
数据仍然选取5家国有银行从上市至2013年12月27日的日收益率序列，为了消除序列之间的自相关性，我们对对数收益率进行一阶自回归，以Rt+1作为因变量，Rt作为自变量，Rt+1对Rt进行线性回归，可以得到Rt的AR（1）的残差序列Xt=Rt+1-（a+b*Rt），我们以残差序列Xt进行R/S分析。利用Matlab软件得到5家银行日收益率的H值、分形维D（D=2-H）和平均循环周期，如表2所示：
从上表可以看出5家银行的H值都大于0.5，根据第二节对H指数的分析，当H在0.5和1之间时。表明5家国有上市银行的日收益率序列之间呈正相关关系，序列具有长期记忆的分形特征，H值越接近于1，记忆的持续性将越长。5家银行中其中交通银行的H值较大，比其他4家银行收益率序列具有更长的记忆性。通过上表分形维数都小于1.5，说明至少需要2个变量来解释国有银行股票价格的变化，也说明序列之间存在正相关性。最后我们还利用Matalab得出了收益率序列的平均循环周期，这些循环周期大小可以反映出5家国有上市银行收益率序列的长期记忆期限。
五、结论
本文通过对5家上市银行股票的日收益率序列的基本统计量进行检验，以验证其非正态性，又利用R/S法分析5家国有上市银行日收益率序列的H值，分形维和平均循环周期，验证其分形特征，得出下列结论：
（1）我国国有上市银行股票日收益率不服从正态分布中偏度为0，峰度为3的标准，而表现出“尖峰厚尾”的态势，与有效市场假定中的正态分布不相吻合，该股票市场不是有效市场，其中农行表现出更明显的“尖峰厚尾”特征，这可能是由于农行上市较晚，所用的时间区间较短。
（2）5家国有银行的Hurst指数都大于0.5，日收益率序列之间表现正相关关系，其分形维数分别是1.42、1.44、1.42、1.43、1.4，序列具有持久记忆性的分形特征。
（3）5家国有上市银行的其分形维数分别是1.42、1.44、1.42、1.43、1.4，都小于1.5，说明至少需要两个变量来解释股价的波动。
（4）通过matalab软件得到的5家银行的循环周期分别是：100、41、122、90、82，其中中国银行的平均循环周期最长，农行的循环周期最短，这些数据说明了5家国有上市银行的日收益率都有一定的循环周期，具有长期记忆性。
