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大学文科数学教学方法的实践与探讨

  本世纪以来,国内越来越多的高校文科专业开始开设高等数学课程。至今,文科数学已普遍占据高校高等数学教学的相当比例,成为大学数学教育的重要组成部分。相应地,该类课程教材的编写与教学方法的研究也逐渐成为热点。笔者结合四年以来在文科专业的教学经验,对大学文科数学的课程设计及教学方法进行以下探讨。
  1   学生特点与教学目标
  首先,相对于理工、经济、管理等学科的学生,文科专业学生在数学学习中有以下特点:
  (1)无法从本专业渠道了解数学在现代生活中的应用。新生在初进高校时普遍对数学的实际应用不甚了解,但理工商科的学生很快可以从自己所学专业获得足够的信息,了解到数学学习的重要性,而文科專业的学生若对数学没有太多兴趣,很难再接触到这方面的内容。
  (2)对是否应当学习文科数学课程有不同的看法。在笔者四年多的教学实践中,大部分同学对文科数学课的学习持正面评价,如普遍感到在逻辑思维、推理等能力的训练上有较大的收益,但也有部分同学虽然对老师的教学有不错的评价,但认为该课程对个人专业发展并无太大必要,从而学习缺乏兴趣和足够的动力。
  (3)对数学的掌握程度差距较大。文科生中有一定比例的数学基础较好、对数学比较感兴趣的同学,但亦有相当一部分同学由于中学阶段的数学基础较差,对学习数学有畏惧的心理。
  以上特点也从其它高校的调查研究结果中得到验证[1,2]。
  作为首届“国家级教学名师”,南开大学的顾沛教授曾总结过文科教学的教学目标[3]:(1) 掌握必要的数学工具;(2) 学习数学文化;(3)培养数学思维方式;(4)培养数学审美;(5)为终身学习打基础。
  基于以上学生特点和教学目标,笔者在编制教学计划时,主要遵循以下原则:(1) 因材施教;(2)加强对数学应用、课程价值的介绍;(3)重视基本概念、基本方法及关键性思想的讲解,不片面追求解题难度;(4)讲解内容应具有可扩展性,帮助学生深入探索感兴趣的知识和应用。
  2   课程设计与教学方法的思路
  2.1 课程介绍
  目标是使同学们认识到数学在实际应用中及对个人发展的重要性,从而提高学习兴趣。主要分为以下两个部分:
  2.1.1 举例说明现代数学的实际应用
  该部分虽然并非课程考核的内容,但通过对数学应用的介绍,可以使学生认识到数学的重要性,对整个课程建立良好的第一印象。对于实例的选取应注意到三个方面,即前沿性、贴近生活以及容易理解接受。笔者在实际教学中选取了以下几个例子:
  (1)数论与密码学,从网络购物中个人信息的加密问题开始,介绍RSA密码、费马定理的基本内容和相关趣闻,最后引出黎曼猜想等理论对于网络空间安全的影响。
  (2)商品推荐问题,从“尿布与啤酒”的经典案例说起,引导学生讨论淘宝、京东的推荐系统,然后引出机器学习、大数据问题的介绍。
  (3)以音频文件的存储问题开始,从线性方程组的角度,依次介绍取点法、傅里叶分析、小波分析,然后到稀疏解问题,解释这些研究对音频、图像、视频文件的处理的巨大推动作用。从教学效果来看,学生普遍对这些实例产生浓厚的兴趣,听课过程中保持了高度的注意力。
  2.1.2 通过实例侧面介绍本课程的作用
  在上一部分内容引发学生兴趣的基础上,老师可主动提出学生可能会注意到的问题:虽然现代数学的应用既重要又广泛,但文科学生学习数学有什么意义呢?这个问题很多名师都有过很好的回答,但如果简单照搬的话可能无法给学生直观的认识,因此,笔者也通过一些实例来进行说明,如:
  (1)利用“欧拉、狄德罗的辩论”的例子,说明对不了解的知识的排斥、惧怕心理可能会导致在简单障碍面前的退缩,然后回顾数论与密码学的例子说明数学理论常常会比应用超前,进而说明数学学习对未来学习、工作的潜在帮助。
  (2)利用一些新闻如“我国每年约有20亿人死于不良输液反应”及该新闻获得的评论来说明即使是大家都明白的数学错误,也会使大家的关注点完全偏离文章主要内容,而这些错误的避免并不在于知识的掌握,而在于学习数学知识时所进行的数学素养、思维方式的训练。
  (3)利用“瓦尔德与失踪的弹孔”的例子说明数学文化、数学素养对思考问题的帮助。
  这些实例可以从侧面帮助学生理解本课程对于个人能力与综合素质的提升所具有的意义。
  2.2 课程设计的技巧
  2.2.1 基本内容与可扩展性的结合
  在具体教学中,考虑到学生特点,重视基本概念、基本计算及应用的讲解,忽略复杂的计算和特殊的技巧,保证大部分同学都能掌握。对复杂或不易理解的重要内容,尽可能细化分类,如极限部分将例题分为利用初等函数性质、利用四则运算法则、利用分式化简、利用根式差的有理化、利用两个重要极限等情形依次讲解,在讲第一换元积分法时,先充分讲解、练习线性换元,然后再介绍多项式换元,最后过渡到一般的换元情形。在基本内容熟练的基础上,每一阶段内容在做小结的时候,适当提及更进一步的内容、相关的数学问题及其实际应用,方便有兴趣的同学在课下做进阶阅读及学习。   2.2.2 适当运用类比以帮助理解
  由于课时、难度的限制,课程中很多定理无法讲解证明,因此,引入一些思路相似的简单例子可以在一定程度上弥补省略证明的不足。如在讲洛必达法则时,将全班分成两组,假设全班共同开公司,刚开始一段时间的分红只给甲组,然后以后每次分红乙组都是甲组的两倍,则在遥远的将来,乙组得到的分红将趋向于甲组的两倍,最后总结两者的共同点:增长率比值的趋势确定了总体比值的趋势。
  2.2.3 结合实际生活扩展举例
  对于一些与实际生活联系紧密的例题,讲解时可以不局限于题目的解答,而是结合实际扩展介绍其应用。如在讲解完函数极限后,将连续复利作为例题,总结影响最后还款额的两个主要因素:时间与利率,然后讨论校园贷、回租贷问题,当场从网上搜索例子,然后利用连续复利估算,当同学们发现剥离骗局中的误导信息,计算出一年的还款额可达借款的几万、甚至几十万倍时,都会忍不住发出惊叹的声音。
  2.2.4适当介绍数学史
  很多教学研究都探讨了在讲解中加入数学史对增强学习兴趣等方面的有效帮助[4-8]。事实上,数学史中还有更多的有益信息值得挖掘。如:
  (1)借助数学家的人生得失,如牛顿晚年耗费精力于神学研究及无益的争论,引发学生对个人规划和发展的思考。
  (2)借助微积分发明人之争后英国与欧洲大陆数学界学术交流的停滞对英国数学的影响,向学生强调交流思想的重要性。
  (3)借助莱布尼茨对各国科学院建设的推动及科学院建设对各国工业发展的影响,康熙对莱布尼茨建议的忽视及对中国近代史的影响等,引发决策者的科学素养对企业、行业、国家发展的影响的思考,帮助学生认识到培养数学素养的重要性。
  2.3 课程考试
  改革考核形式也是大学文科数学课程改革常常提到的一个要点,很多研究者们探讨了读书报告、半开卷、概念题及弱化解题技巧等考核思路[1,2,9,10]。笔者在教学过程中尝试了以下考核方式:
  2.3.1 平时成绩的考核方式--课堂测验与读书报告
  课堂上不定期进行5-10分钟测验,测验题目弱化解题技巧与计算能力,重视学生对解题过程的掌握。在学期内布置一定的选题,如数学家传记、数学专题等,供学生发挥自己的总结、文字能力,同时也通过报告加强学生对数学的基本概念和原理方法的理解。
  2.3.2 期末考试题目的设定
  计算、证明性的题目同样强调对基本概念、基本解题思路的考核。除此之外,结合学生的专业及学习特点,适当设定读图题、论述题增加发挥空间。读图题可以考察学生对概念的形象理解,如极限、连续性、可导性、积分的几何意义等。论述题可以结合数学概念的形象理解、数学的实际应用、学生专业等进行设定,如《寻隐者不遇》中蕴含的数学思想,结合连续复利公式讨论个人信贷管理,及针对法学院、知识产权学院学生的,由笛卡尔、费马、莱布尼茨等数学家的法学背景讨论法学与数学的关系,线性方程组消元法的知识产权应属于高斯等数学家还是《九章算术》的不知名作者等。最后,考虑到部分学习成绩较好、对数学比较有兴趣的同学,试卷中也会出一道技巧较多的趣味题目作为补充。
  3   结语
  随着大学文科数学课程的日益普遍,预计该课程将逐渐成为与理工科、商科《高等数学》同等重要的课程类别,对文科数学课程设计的讨论与实践,将对该课程教学研究与实践的发展成熟起到必要的推动作用。几年的教学实践表明,由于精心进行了相关课程设计,不断改善教学方法,广泛吸取国内同行的经验,较好的提高了我校文科学生学习高等数学的兴趣与热情,所授课程在每学期课程评估中一直位居学院全部课程的前10%。笔者也希望通过本文抛砖引玉,继续学习、讨论教学方法,提升自己的教学能力与水平,为提高我校文科高等数学教学水平做出新贡献。

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