中图分类号：G42 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）06（c）-0162-02
Differential Geometry Teaching Experiment
Tao Zhaoling Gao Yajing Liu Yutian
（School of Mathematics & statistics， Nanjing University of Information Science and Technology，Nanjing Jiangsu，210044，China）
Abstract：Differential geometry， one of the branches of mathematics，apply the theory of differential and calculusto study space geometric properties.Advocated in this paper，what different teaching methods and modelsare adoptedare based on the differential geometry teaching practice which is according to different teaching content and teaching time.Illustrating the information technologypromote teaching understanding on differential geometry.Looking forward to the deeply integrate about the advantage of information technology and traditional education.Trying toagile match the total factor and strive to convey the positive energybetter.By "simplified" differential geometry knowledge structure and "beautification"differential geometry teaching， strengthen the transverse and longitudinal comparison and contrast of the knowledge.Expecting toprovide the high-quality service for the students and achieve the improvement of teaching quality at the same time.
Key Words：Differential geometry；Teaching mode；Teaching method；Quality of teaching
微分几何是微积分在几何中的应用。求曲线在一点的切线，相当于求函数在一点的微分，而要给出闭曲线所围区域的面积，就归结为求积分，但是物理世界的曲线、曲面是异常复杂的，反过来又向整个数学提出许多重大问题。作为微分几何学入门的本科微分几何课程，充分展示着数与形的奇妙结合，成为学生了解近代数学发展的一个有效途径，是学习更高级知识的桥梁， 其在学生的数学能力培养、思维品质提高以及后续高级课程学习等方面都具有重要作用。
为了提升微分几何的教学质量，努力进行全要素配合，力求更好地为学生服务。挖掘、整合微分几何的知识内涵，“简化”微分几何的知识结构，多角度、多形式、多层面地梳理微分几何的知识框架，突出其间的几何与分析特征，加强知识的横向与纵向类比与对照；“美化”微分几何教学，把相关知识进行深层加工和梳理，以易于被学生认识与接受的审美信息形式呈现给学生，让学生学会发现美、体会美，唤起学生的灵动感与主动性，激发学生健康向上的数学审美意识，巧妙降低课程的枯燥程度，提高学生对微分几何的认识，以提升微分几何的教学效果。
1 教学过程、教学方法与模式
教学过程中力求多种教学模式、教学方法的灵活交替或转换。依据教学内容、教学时间的不同采用不同的教学方法与模式。如，国庆临放假前的那次课，设计一堂复习课，实现全覆盖新学期以来的知识点，稍稍重视一下趣味性，同时采用互动的形式完成课堂内的练习，可以说足以让愿意投入其中的学生们在小长假之后对那时课程的主要内容绝对留有较深的印象。又如，活动标架的建立往往需要铺垫的时间多一点，教师需要做的也要耐心细致点。但在学习基本三棱形之后，伏雷内公式的导出完全可以交由学生来做。虽然学生们对向量的数量积、向量积和混合积等算不上熟练，但只要加以引导，自己推导的效果比教师推理的好很多，而且正好有利于学生将来更好地运用向量的运算和导出的公式，随后欣赏起其间的反对称美来也更具自豪感。
作为愉快教学方式的拥戴者，我们也进行了相关尝试。一般选择轻音乐，播放时间则往往是课间或者音乐伴随图片展示飘出。几何自然是与图形不分离的。大自然中攀缘植物的形态、上海中心大厦的螺旋梯等让我们学习起圆柱螺线来更觉得踏实。凭着信息社会的优越，依靠网络，我们不仅能欣赏生物化学的DNA双螺线图形；而且还能全方位感受与DNA结构相似的世界上首座曲线桥，新加坡的螺旋人行天桥，那充溢着未来感的设计无疑让观者感受到几何的生命力。 微分几何无时无处不在向人们展示着其巨大的魅力。生活的世界中，存在着各种各样的光滑曲线和曲面，以及众多的赏心悦目的艺术几何造型。我们当然不能忽略它们的作用。为了更好地理解曲面，结合线上线下实际，我们展示了一些著名的标志性建筑，其中涉及迪拜大厦、台北的国际金融中心大厦、上海的中心大厦与金茂大厦、深圳的帝王大厦；马来西亚首都吉隆坡的双子塔、在建的武汉CBD双子塔、正在兴建的厦门双子塔的设计图、珠江新城中带有遗憾的建筑――中轴线上不对称的广州“双子塔”、毁于“911”的纽约双子星。
对于重要的概念，如曲率，正常教学之外，我们提及了激光近视手术。或许因为班上近视的同学不少，学生们对它的兴趣远超出想象，比起讲述那是研究静电场中某些问题的一个有力工具吸引力大多了。又如，关于切触这个概念，我们谈起鞋的磨脚问题，聊起了后跟贴等。原来，微分几何真的离我们很近很近。
体会“数”与“形”的巧妙结合，“理论”与“应用”的有机结合，自然有利于促进学生们在逻辑思维能力与直觉思维能力的全面发展。
当然，正常的教学要求、教学内容也是不能忘的。简单而言，教学内容就是如下两个基本问题。
正问题： 曲线/曲面特征指标内蕴量；
反问题： 基本不变量曲线/曲面的设计与构造曲线/曲面基本定理。
问题、知识都是由人发现的。相关科学家自然也不能被忽略。欧拉、蒙日、高斯、黎曼、克莱因、嘉当；苏步青、陈省身、谷超豪、胡和生、李安民……微分几何无疑有着悠久的研究历史、曲折的发展过程。在教学中，我们也注重学科发展简史、重要历史人物和重要历史进程的简介。介绍知识点结合与之相关的数学家及其成就，以及有关理论在历史上的发展情况，帮助学生了解国内国际微分几何学以及微分几何学者们的成长与发展；开阔知识面、增加学习的兴趣、体会各知识点所传递的思想以及它们之间的有机联系。而且，许多数学家曲折的人生经历、孜孜以求的科研奋斗精神，无疑会对学生产生积极的人格影响。因此，若联系新常态，这必然会促进学生们在知识与技能、情感态度与价值观等方面的和谐发展。
教学过程中，我们也力求实现学科间的横向沟通与纵向联系，实现信息技术优势与传统教育的深度融合，努力构建以学生为中心的教学模式。因而努力抓常、抓细，力求持久地抓住知识信息间的联系。鼓励学生运用Matlab、Maple等软件进行学习，希望能更上一层楼。
