中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）19-0010-03
培养学生运算能力是《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》的明确要求。数学教学就是数学语言的教学，因此，培养学生运算能力的过程就是引导学生进行数学语言转换的过程。运算能力是学生在数学知识和经验掌握的基础上形成和发展起来的。培养学生的运算能力不仅有助于他们理解算理、掌握算法，而且能促进他们寻求合理、简洁的运算途径解决问题，发展数学思维。为了有效培养学生的运算能力，教师可以有的放矢地引导学生转换数学语言。数学语言通常包括图表语言、符号语言和文字语言3种。图表语言就是包含数学信息的图表，包括图形语言、图象语言和表格语言；符号语言就是数学通用的精炼语言，包括象形符号语言、缩写符号语言和约定符号语言；文字语言就是经过加工改造的、“数学化”了的自然语言。
现以三位数除以两位数的调商教学为例，谈谈如何引导学生在转换数学语言中培养运算能力。
一、在图形语言转换文字语言中理解调商趋势
图形语言就是包含各种数学信息的图形，如情境图、实物图、几何图、统计图和集合图等。“苏教版”小学数学教材中的图形语言很多，其目的是为了激发学生的学习兴趣。在“四舍五入法调商”教学中，引导学生把图形语言转换为文字语言，就是引导他们分析题意的过程，也是引导他们理解调商趋势（商的调整动向）的过程。调商知识非常抽象，运算过程较为复杂，是学生学习三位数除以两位数的难点。学习新知前，学生已有两、三位数除以一位数的竖式计算经验：从高位除起，除到哪一位商就写在那一位上。两、三位数除以一位数中的除数较小，学生能轻松通过口算确定商的大小。三位数除以两位数时，除数较大，除数再乘一位数口算有困难；同时，把除数看作整十数以后，初商会偏大或偏小，需要调整。另外，学生不理解被除数不变，除数和商之间的反比例关系，感觉无从下手。为了帮助学生理解调商方向，教师要引导学生借助生活经验在实物操作中获取操作表象，再把操作过程用图形语言表示出来，使“物质化”材料“内化”为图形语言，再总结变化规律，发展学生的抽象逻辑思维。
教学时，教师创设了一个与新知有密切联系的问题情境：把12块糖分给课上认真听讲的学生，每人能得到几块糖？学生在思考中发现：如果课堂上只有1个人表现好，就可以得到12块；如果有2名同学表现好，每人就得到6块……为了帮助学生进一步理解，教师要求学生画图表达自己的想法（如图1）。创设学生熟悉的情境，引导学生在动手操作和思维操作中形成图形语言，使学生理解总块数不变，参与分的人数和每个人分到的块数之间的数量关系是总块数÷参与分的人数=平均每人分到的块数，并且糖的总数不变时，人数越多、每人分的块数越少，人数越少、每人分的块数越多。在除法算式中就是被除数不变时，除数越大商越小，除数越小商越大。这样把图形语言转换为文字语言，学生能直观理解除数和商之间的整体变化规律，在头脑中初步形成除数与商之间变化关系的表象，为后续调商方法建立自我认知、自我调节的心理定向，为最终形成运算能力积累相关的知识经验。
二、在图形语言转换符号语言中明确调商对象
图形语言比较直观，有助于学生理解知识，掌握知识。借助实物图，可以帮助学生理解算理；借助竖式，可以帮助学生明确调商对象（调商过程中作为目标的事物或数字）。计算三位数除以两位数时，学生需要明确计算过程中每一步算什么、怎么算和为什么这样算的道理。只有完全理解算理，才能真正具备运算能力。比较被除数与除数乘商的积，当被除数不够减或余数大于除数时，竖式计算就要调商。如果学生对这两种比较结果能正确判断时，就会迅速调整商的大小；如果被除数比积小，用积减被除数或者余数比除数大却继续除下去时，说明学生没有调商意识。为了防止学生产生错误，教师要引导学生正确理解竖式图形结构以及每一步的操作规则。
教学时，教师创设如下情境：把12块糖平均分给3个同学时，不小心依次给每个同学分了3块，要求学生进行实物操作或画图，并用竖式表示操作过程。
看一看：以问题驱动观察所画图形（如图2）。学生观察图形后，教师问学生对操作后的结果有什么想法？有的学生说12块糖平均分给3人，每人可以分到4块；现在只分了3块，还可以每人再分1块；有的学生说余下的3块糖和3人相等、可以继续分；有的学生说余数等于除数，可以继续分，商从3变成4；有的学生说余数要比除数小，如果余数和除数相等就可以继续分……
摆一摆：以开放式情境引导学生继续思考，除了平均分后有剩余，还可能会出现什么情况？怎么调整？问题驱动学生打开思维，有的学生想到多分的情况，如把12块糖平均分给3个同学，一不小心在先分时每人分了5块，结果出现第3个同学不够分的现象，并用图表示（如图3）：商大了，被除数不够减，出示算式12-15=3（实际上是15-12=3），引导学生质疑、反思，体会错误的根本原因，帮助学生改正错误，强化认识，建构清晰的表象，得出不够分（试商偏大）的现实问题，为学生探究三位数除以二位数初商偏大要调商提供依据。 想一想：刚才平均分物体时，出现了哪些情况？如何进行调整？
学生从刚刚经历的动手操作中获得“物化”表象，把这种表象内化为智力活动的过程就是把图形语言转换为符号语言的过程，有助于学生理解试商和调商的算理。正如加里培林所说的，物质化是学生最易理解和最方便的形式。用图形语言外化操作形式，并转换为符号语言（竖式计算），就把教材中的程序性知识变成了学生心里的合理化操作模式，有助于学生接纳与理解新知识。有了符号语言结构的深刻体验，学生在头脑中就能迅速形成解题策略，思维聚焦关注点更集中，从而有助于培养学生的运算能力。
三、在符号语言转换符号语言中形成调商方法
竖式计算是一种约定符号语言，也是约定俗成的一种除法计算的书写形式。教师应根据学情和教学需要，引导学生把竖式计算这种符号语言进行适当转换，这有助于学生理解并掌握所学知识。竖式计算中的调商方法是学生正确计算三位数除以两位数所应该遵循的某种方式、途径和程序，一般用“四舍五入”法把除数看作与其接近的整十数进行试商，再根据余数和除数的大小关系进行调商：如果余数比除数小，商正好；如果余数比除数大，说明商偏小要调大；如果被除数不够减，说明商偏大要调小。教师要及时引导学生根据调商的变化趋势和调商中的问题体验调商过程并形成表象。
教学时，教师出示情境图后提出要求：你遇到了什么问题？怎样解决？再放手让学生独立计算252÷36。学生知道把36用五入法估作40，试商为6，用除数36×6=216，252-216=36，余数和除数相等，初商小了要调大（把6调为7）。但学生往往因为试商和调商在一个算式上，涂抹严重，甚至因为涂改不清形成新的计算错误。于是，师生商议怎样解决不涂抹、又能在竖式中正确退商的方法，最终决定把试商过程用横式写出思考过程，得出调商结果后，再把确定的商写在竖式中（如图4）。学生在理解算理的基础上，明确计算思路，并用符号语言正确、清晰地表达调商过程和口算方法：横式由开始写在竖式旁边移到草稿本上、横式由原来完整记录过程演变为只记积的大小（比较被除数与积的大小以及确定调整新商的过程都在学生头脑中完成），调商方法由会调整变得非常简化，缩减了思维程序，提高了竖式计算效率。
这样，学生由竖式计算中的符号语言转换成横式计算中的符号语言，再转换为竖式计算中的符号语言，这种转换过程是学生理解并掌握调商方法的过程，也是学生形成运算能力的过程：学生在尝试和交流中借助文字语言内化方法，通过简缩思维，运算技能在逐渐减少笔算过程、增加口算过程中形成自动化程序，从而掌握正确的竖式计算方法，初步形成运算能力。
四、在文字语言转换表格语言中形成运算结构
文字语言转换成表格语言，就是把文字语言用表格形式展示出来，帮助学生在比较中发现规律或形成正确的认知结构。学生有了清晰调商的思路后，随着调商规律的不断内化，逐渐形成除法竖式计算的整体程序化结构，并作为图式结构存在于学生头脑中，而这种结构越稳定、越准确、越灵活，就会形成“技能组块”，并且形成娴熟的运算能力，从而有助于学生在学习其他新知时迅速产生链接，顺利实现知识和能力的迁移。
学生理解三位数除以两位数的程序规则、形成“四舍五入法”调商的表象后，教师引导他们比较“四舍法”调商和“五入法”调商过程中的异同，促进学生自主归纳概括出：用四舍法试商，被除数不够减，初商偏大要调小；用五入法试商，余数比除数大，初商偏小要调大。学生深刻体验后，就会在头脑中产生清晰表象、形成完整的表格（如表1）。学生完整建构四舍五入试商、调商的笔算过程，就是把符号语言转换为表格语言的过程，也是学生正确理解和掌握计算法则的过程，还是学生真正形成运算能力的标志之一。
总之，三位数除以两位数中的调商是整数计算教学的难点。教师引导学生经历数学语言转换过程，一方面能帮助学生正确理解和掌握调商方法，另一方面能帮助学生构建良好的运算结构，促进学生在理解算理、掌握算法的基础上形成有实质意义的运算能力。
