【中图分类号】G46 【文献标识码】A 【文章编号】1673-8209(2010)08-0-03
依据职业教育的培养目标,在职业教育阶段,学生仅掌握书本知识已经不能满足社会的要求,因此,引导学生把所学的数学知识与生活中的实际问题相结合,开展数学建模活动应成为职业教育数学教学活动的重要理念之一。
1 问题提出
1.1 问题
商场经营者即要考虑商品的销售额、销售量。同时也要考虑如何在短期内获得最大利润。这个问题与商场经营的商品的定价有直接关系。定价低、销售量大、但利润小;定价高、利润大但销售量减少。下面研究在销售总收入有限制的情况下.商品的最高定价问题。
1.2 实例分析
某商场销售某种商品单价25元。每年可销售3万件。设该商品每件提价1元。销售量减少0.1万件。要使总销售收入不少于75万元。求该商品的最高提价。
解:设最高提价为x元。提价后的商品单价为(25x)元
提价后的销售量为(30000-1000x)件
则(25+x)(30000-1000x)≥750000
(25+x)(30-x)≥750
0≤x≤5
即提价最高不能超过5元。
2 数学建模的概念
数学建模,即构造数学模型,具体地说就是将某一领域或部门的某个实际问题,经过抽象、简化、明确变量和参数,并依据某种“规律”建立变量和参数间的明确关系(数学模型),然后求解该问题,并对结果进行解释和验证,如果正确,则可投入使用,否则将重新对问题的假设进行改进,多次循环,直到正确。
3 数学建模的一般步骤
这里所说的建模步骤只是大体上的规范,实际操作中应针对具体问题作具体分析,灵活运用。建立数学模型的一般步骤如下:
(1)模型准备:
了解熟悉实际问题,以及与问题有关的背景知识,明确建模的目的,掌握研究对象的各种信息(如数据、资料等),弄清对象的特征,分析原型的结构,有时要求建模者做深入细致的调查研究,按模型的需要有目的地收集所需要的数据。
(2)模型假设:
分析处理数据、资料,确定现实原型的主要因素,抛弃次要因素,对问题进行必要的简化,用精确的语言找出必要的假设,这是非常关键的一步。
(3)模型建立:
根据主要因素及所作的假设,利用适当的数学工具描述有关变量和元素的关系,并建立相应的数学模型(如方程、不等式、表格、图形、函数、逻辑运算式、数值计算式等)。在建模时,数学工具的采用要根据实际问题的特征、建模的目的和要求以及建模者的数学特长而定。因此,采用的数学方法不同,建立的模型可能也不同。但应遵循一条原则,即尽量采用简单的数学工具,以使模型得到更广泛的应用。
(4)模型求解:
使用已知数据,观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。利用数学工具,对模型进行求解,包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、性质讨论等,以找出数学上的结果。要求建模者掌握相关的数学知识,尤其是计算技巧和计算机技术。
(5)模型分析:
对模型求解的结果进行数学上的分析,有时需要根据问题的性质分析各变量之间的依赖关系或性态,有时需要根据所得结果给出数学式的预测和最优决策、控制等。
(6)模型检验:
把模型分析的结果返回到实际应用中,用实际现象、数据等检验模型的合理性和实用性,即验证模型的正确性。通常,一个成攻的模型不仅能够解释已知现象,而且还能预言一些未知现象。
(7)模型应用:
如果检验结果与实际不符或部分不符,而且求解过程没有错误,那么问题一般出在模型假设上,此时应该修改或补充假设。如果检验结果与实际相符,并满足问题所要求的精度,则认为模型可用,便可进行模型应用。
我们用图1示来解释一下它的基本过程:
4 数学模型介绍
4.1 建立竖式模型
例1 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划本年度投入800万元,以后每年投入比上一年减少,本年度当地旅游业收入估计约400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游收入每年比上年增加。问至少经过多少年,旅游业总收入才能超过总投入?
解:设n年内(本年度为第一年),总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元。
第一年投入800万元,
第二年投入万元……,
第n年投入为万元,所以n年内的总收入为:
第一年旅游收入为400万元,
第二年旅游收入为万元,……,
第n年旅游收入为万元,所以n年内的总收入为:
,化简得:
>0
解得<即n>5.
故至少经过5年,旅游业总收入才能超过总投入。
4.2 建立方程(方程组)模型
例2 永强加工厂接到一批订单,为完成订单任务,需用a米长的材料440根,b米长的材料480根,可采购到的原材料有三种,一根甲种材料可截得a米长的材料4根,b米长的材料8根,成本为60元;一根乙种材料可截得a米长的材料6根,b米长的材料2根,成本为50元;一根丙种材料可截得a米长材料4根,b米长的材料4根,成本为40元。问怎样采购,可使材料成本最低?
分析:若直接设材料成本最低为x元,则根据已给条件不好列方程,所以我们不妨借助于辅助变量;令甲种取x根,乙种取y根,丙种取z根,那么可得到
再设总成本为p元,则求出p=60x+50y +40z的最小值即可。
解:设甲种材料取x根,乙种材料取y根,丙种材料取z根,则x,y,z满足
设总成本为p元,则求p的最小值,由①,②得
因x,y都是正数∴0≤z≤100又∵x,y都是非负整数 ∴令z=5t,则0≤t≤20
于是p=60x+50y+40z=60(50-2t)+50(40-2t)=5000-20t
显然t=20时,成本最低,即当x=10,y=0,z=100时,取得材料的最低成本为4600元。
4.3 建立不等式模型
例3 南泉汽车租赁公司共有30辆出租汽车,其中甲型汽车20辆,乙型汽车10辆。现将这30辆汽车租赁给A、B两地的旅游公司,其中20辆派往A地,10辆派往B地,两地旅游公司与汽车租赁公司商定每天价格如表1:
(1)设派往A地的乙型汽车x辆,租赁公司这30辆汽车一天共获得租金为y(元),求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)若要使租赁公司这30辆汽车一天所获得的租金总额不低于26800元,请你说明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来。
解:(1)y=1000(20-x)+900x+800x+600(10-x)=26000+100x (0≤x≤10)
(2)由题意得:26000+100x≥26800,
又因为0≤x≤10,且x是整数,所以x取8,9,10故方案有3种。
方案1:A地派甲型车12辆,乙型车8辆;B地派甲型车8辆,乙型车2辆;
方案2:A地派甲型车11辆,乙型车9辆;B地派甲型车9辆,乙型车1辆;
方案3:A地派甲型车10辆,乙型车10辆;B地派甲型车10辆。
例4 学校食堂定期从粮店以每吨1500元的价格购买大米,每次购进大米需支付运输费100元,食堂每天需用大米1吨,贮存大米的费用为每吨每天2元,假定食堂每次均在用完大米的当天购买。(1)该食堂每多少天购买一次大米可使平均每天支付的总费用最少?(2)粮店提出价格优惠条件:一次购买量不少于20吨时,大米价格可享受九五折(即原价的95%),问食堂可否接受此优惠条件?说明理由。
解:(1)设每n天购进一次大米,则购米量为n吨,那么库存费用为:
2[n+(n-1)+…+2+1]=n(n+1),
记平均每天的总费用为y1,则
当且仅当,即n=10时,等号成立,故应每10天购买一次大米,可使平均每天支付的总费用最少。
(2)显然,若接受优惠条件,则至少每20天订购一次,即每m天购一次时,有m≥20,记此时每天总费用为y2,那么
(m≥20)
因为
所以函数是增函数,故当m=20时,y2最小值为1451,因为1451<1521,所以接受价格优惠条件。
4.4 构建几何模型
例5 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南方向300km的海面P处,并以20kmh的速度向西偏北方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10kmh的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
解:记时刻t(h)台风中心为p,台风侵袭区域的半径为r(t)
则
,由题意当时,城市O受到台风侵袭。
而令,
所以
即:
故
所以12小时后该城市开始受到台风的侵袭。
4.5 构建排列,组合模型
例6 两条直径把圆面分为四部分,如图所示:现用四种颜色涂这四个区域,问相邻区域不同色的涂法有几种?
解:分三类:用四种颜色去涂有
用三种颜色去涂,则相对的两个区域涂同一颜色,
于是有
用两种颜色去涂有。
所以共有24+48+12=84种。
4.6 构建函数模型
例7 一商场经销某种电器,根据销售情况年进货量为5000台,分若干次进货,若每台电器价格为2400元,每次进货需费用1600元(包括运输等各种费用),且在售完该电器时能立即进货,每一台电器的年库存保管费率为10?。为降低成本,使一年的进货费用和库存保管费用之和最省,每次应进货多少台?此时一年的进货费与库存保管费之和是多少?
解:设每次进货x台,则由上述分析知,每年总费用y(进货费与库存保管费之和)为:
当且仅当即x=250时取等号,此时可取最小值60000。
答:每次进货250台时,一年的进货费与库存保管费之和最省,为60000元。
例8建造一个容积为8m3,深为2m的长方无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别120元和80元,那么水池的最低造价为多少元?
分析设池长为xm,由已知条件,池底面积4m2,则池宽为4m,那么水池总造价y元为:
解:将函数转化为方程,利用判别式△来解决。
时取得最小值解得=1760元,此时x=2附条件,则水池的最低造价为1760元,
4.7 构建实际生活的数学模型
例9海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁,今有货轮由西向东航行。开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处后,货轮继续向东航行。你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
已知:由数学模型知
求AD的长
解:由数学模型得
而
由BD―CD=BC 又BC=20海里,
得
海里
∵20.79海里>10海里, ∴货轮没有触礁的危险.
例10我们都知道,《乌鸦喝水》的故事,说的是:一只乌鸦口渴了,到处找水喝。乌鸦看见一个瓶子,瓶子里有水。可是瓶子里的水不多,瓶子口有小,乌鸦喝不着水,怎么办呢?乌鸦看见瓶子旁边有许多小石子,想出办法来了。乌鸦把小石子一个一个地放进瓶子里,瓶子里的水渐渐升高,乌鸦就喝着水了。问:这一只聪明的乌鸦,可是这只聪明的乌鸦真的能喝到水吗?
解构建数学模型,不妨假定所投入的石块都是大小相同的石球,其直径为r,共有n 个。所有的小石球都紧密地排在一起,并且球心都在同一条直线上。再假定瓶了的形状是方柱体,其内部空间被分成 n个棱长为r 的小正方体。这样,瓶子里的总空隙就可以看作是每个小石子的外切正方体与小石球体积差的总和。由上面的假定可知:每一个小石球的体积为,其外切小正方体的体积为r3,所以瓶子里的总空隙为,
而就表示瓶子里所有空隙的总和等于瓶子总空隙的48?,也就是说,瓶子里所有空隙 的总和比瓶子容积的一半稍小一些,因此,瓶子里的原有水量不及瓶子的一半时,乌鸦就不可能用投石块的方法把水面升到瓶口而喝到水。事实上,这个结论与小石块是不是球体,瓶子的形状是不是方柱体都无关。而且,生活中的瓶子一般都是中下部较大,瓶口较细,这也应该会减少水面上升的高度,就更增加了乌鸦喝水的难度。所以说,当瓶子里的原有水量不到瓶子的一半时,乌鸦是不可能喝到水的。
上述是对数学建模在生活实际中应用的一些总结,利用数学建模的方法,能够开拓学生思路,加深对学习过程的认识,培养学习兴趣,提高求知欲和认知能力,更好的完成职业教育目标。数学建模具有广阔的发展前景,我们的建模不应该拘泥于形式,束缚于教条。我们应该密切关注生活,密切结合课本,改变原本,将知识重新分析组合,综合拓广,使之成为立意高,情景新,设问巧,并赋予时代气息的问题,这对培养学生思维的灵活性,敏捷性,深刻性,广阔性,创造性是大有益处的。
