微分中值定理主要是对一系列中值定理的概括，对研究函数有至关重要的作用。与其相关的定理主要有罗尔中值定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理，发挥其在中学数学中的应用将是推动数学进步的重要保证。
一、微分中值定理的相互关系
1.微分中值定理
微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理。其中罗尔定理中，当函数y=f（x）能够满足闭区间[a，b]连续；开区间（a，b）可导；f（b）=f（a），至少会存在一点ζ∈（a，b）使f ′（ζ）=0。拉格朗日中值定理中，当函数满足y=f（x）[a，b]闭区间连续，（a，b）开区间可导，则存在一点ζ∈（a，b），使得f′（ζ）=.柯西中值定理中，当函数y=g（x）与y=f（x）满足闭区间[a，b]连续；开区间（a，b）可导，且f ′（x）和g ′（x）都不为0，g（a）≠g（b），将至少有一点ζ∈（a，b），使得=.由此可见，拉格朗日中值定理与柯西中值定理都会涉及到罗尔定理，而且在前提条件方面都比较接近，因此下文中将会对三者之间的关系进行探析。
2.微分中值定理的相互联系
罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理三者之间的关系主要体现在由一般到特殊，再由特殊到一般。当柯西中值定理条件下G（x）=x，定理将转变为拉格朗日中值定理，如果再使f（a）=f（b），又会转化为罗尔中值定理。换言之，柯西中值定理的特殊情况是拉格朗日中值定理，而拉格朗日中值定理的特殊情况是罗尔中值定理。
（1）从理论角度，很多情况下，至少有一点ζ能够使此函数在该区间上的导数值与函数值保持一定的等量关系。而且定理的中值ζ在通常条件下很难发现，但对于定理理论研究与应用价值没有过多的影响。因此，对中值定理的掌握，必须要将三者在条件、证明方法、结论及几何解释方面正确分析，使三个中值定理的关系在相互联系的情况下可以进行区分。
（2）拉格朗日中值定理与柯西中值定理在证明方法上都需应用罗尔定理，以构造新函数的方法得出结论。一般证明定理的过程必须保证新函数的构造，但构造的新函数应符合罗尔中值定理的前提条件，而且新函数在结构上必须保持与导数之间的联系。现阶段比较常用的证明定理的方法是构造辅助函数，采用如原函数法、结论恒等变化形式等适当的方法。
（3）在形式结构上，中值定理的基础为罗尔定理。关于罗尔定理的几何解释，首先通过这样一个实例，即两点纵坐标相等的y=f（x）连续曲线，而且曲线上的任一一点都存在切线，那么将会有一点（ζ，f（ζ））使曲线在每个点处的切线保持水平状态。而拉格朗日中值定理则用自变量的增量乘以函数导数值进行表示Δy=f′（x+θΔx）Δx（0<θ<1）。由此可见，拉格朗日中值定理实际是对罗尔定理的一种推广。区别于拉格朗日中值定理，柯西中值定理从变量层面角度，能够涵盖拉格朗日中值定理，解决了函数之商变化率以及不定式等问题。因此，在形式结构上，拉尔中值定理往往会变为罗尔定理，柯西中值定理则会成为拉尔中值定理。
二、微分中值定理的推广
1.罗尔中值定理
罗尔定理中，当函数y=f（x）能够满足闭区间[a，b]连续；开区间（a，b）可导；f（b）=f（a），至少会存在一点ζ∈（a，b）使f ′（ζ）=0，其具体证明方法：f（x）在闭区间[a，b]连续，若最大值M与最小值m的存在，当M=m的时候，y=f（x）在（a，b）上是常函数，而且f′（x）=0恒成立，若最大值与最小值不能相等，在[a，b]上将存在极值点，将其设为x0，因此可得出f′（x0）=0，至少会有一点ζ∈（a，b）使f′（ζ）=0。从整个证明过程中不难发现，若函数f（x）在区间内存在导函数，那么区间两端必存在相等的极限值。
2.拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理中，一般可通过构造函数法、区间套定理将罗尔定理在拉格朗日中值定理中的作用进行证明。若函数f（x）在（a，b）中可导，而且在两个端点存在左右极限，便会得出这样的结论，即f（x）在（a，b）可导，且存在f（a+0）与f（b+0），那么ζ∈（a，b）使f′（ζ）=0使f′（ζ）=.
3.柯西中值定理
柯西中值定理在证明方法上与拉格朗日中值定理基本相似。在推广方面，当函数f（x），g（x）在（a，b）中任一点x处存在导数f ′（x）和g ′（x），而且满足x∈（a，b），g′（x）≠0， f（a+b），f（b-0），g（a+0），g（b-0）则至少有一点ζ∈（a，b）使.
三、微分中值定理在中学数学中的应用
1.讨论方程根的存在性问题
中学数学教学中，除二次方程根的问题较为容易，对其他复杂的方程往往会使学生无从下手，因此可结合微分中值定理进行分析并解决。通过给定闭区间[a，b]上的函数，只需保证区间内连续可导，而且以f（a）=f（b），便可通过罗尔定理解决方程的判根问题，具体做法为：首先命题条件，再进行辅助函数F（x）的构造，然后将F（x）验证以满足罗尔定理条件，最后做出命题结论。例如，f（x）在（a，b）上可导，在[a，b]上连续，证明（a，b）内，2x[f（b）-f（a）]=（b2-a2）f′（x）至少存在一个根。对此，可首先使F（x）[f（b）-f（a）]x2-（b2-a2）f（x），其中F（x）在（a，b）上可导，在[a，b]上连续，F（a）=f（b）a2-b2f（a）=F（b）。至此，以罗尔定理为依据，将存在ζ使2ζ[f（b）-f（a）]=（b2-a2）f′（ζ），在（a，b）内，2x[f（b）-f（a）]=（b2-a2）f′（x）至少有一个根存在。 2.证明不等式
不等式在中学数学中是重要的内容，微分中值定理在其证明上发挥很大的作用，具体可在不等式两边的代数式进行不同的选取设为F（x），通过微分中值定理，可得出一个等式，根据x取值范围对等式进行讨论，如对ln（1+x）≤x（x>-1）进行求证，当x=0时，ln（1+x）=x=0；x≠0时，对于f（t）=lnt，将1与1+x设为端点，并应用拉格朗日中值定理，在区间内的ζ使f（1+x）-f（1）=f′（ζ）（1+x-1），即ln（1+x）=；当x>0时，ζ>0，0<<1，因此ln（1+x）≤x；当x<0时，0<ζ<1，>1、ln（1+x）与x为负值，所以ln（1+x）≤x，即对x>-1恒成立。
3.用于求极限
中枢穴中对于极限的问题，很多时候在使用洛必达法则，为教师及学生带来很大的计算量，但通过微分中值定理可为较难的极限问题提供有效且简单的方法，主要是通过对某些部分进行辅助函数的构造，通过微分中值定理的使用，得出极限。如a>0时，求n2（a-a）.整个求解过程：
4.函数单调性的讨论
对函数单调性的判断，采用微分中值定理的主要方法是：当f（x）能够满足闭区间[a，b]连续，开区间（a，b）可导，那么（a，b）中f′（x）>0，可推出f（x）在[a，b]上单调增加；若f′（x）<0，单调减少。尽管连续函数中的某个点可能存在无导数的现象，但对函数单调性不会有影响。另外，在中学数学中可能涉及到利用函数单调性求极值，此时首先可对函数定义域进行确定，并将f′（x）求出，在对定义域内所有驻点进行求值，找出f（x）连续但f′x）不存在的点，最后对驻点及不可导点附近f′（x）的符号变化情况进行讨论，确定函数极值点，以此求出极大值或极小值。
5.求近似值
中学数学中，微分中值定理在求近似值中的应用也比较常见，一般只需构造适当的函数，再通过微分中值定理的应用便可得出近似值。如求的近似值，因为是f（x）=在x=0.97处的值，因此设x0=1，x=x0+△x，△x=-0.03，通过微分中值定理可得出≈+（）′x=1×（-0.03）=1+×（-0.03）=0.985。
微分中值定理在中学数学中应用较为广泛，本文主要对其中常见的应用进行探析，并结合微分中值定理的推广以及其中关于拉格朗日中值定理、罗尔中值定理与柯西中值定理之间的关系做出相关研究，以此说明微分中值定理的应用价值。因此，中学数学中教师与学生应注意对其加以运用，促进数学教学与学习质量的提高。
